Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть меньше, а другое – чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам нужно произвести вычитание. Например,
109 × 93 = (100 + 9) (100 – 7) = (100 × 102) – (9 × 7) = 10 200 – 63 = 10 137
И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7, либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант – сложить последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами. Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.
218 × 211 = (200 + 18)(200 + 11) = (200 × 229) + (18 × 11) = 45 800 + 198 = 45 998
985 × 978 = (1000 – 15) (1000 – 22) = (1000 × 963) + (15 × 22) = 963 000 + 330 = 963 330
Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение
9x – 7 = 47
мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.
Или вот другой пример, чуточку сложнее:
5x + 11 = 2x + 18
Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к
3x = 7
решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ≠ 0).
Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:
x² = 9
которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде
x² = 10
у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.
Отступление
А как насчет уравнения x² = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет решения: ведь не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле существуют целых два ответа: x = 3i и x = –3i, где i – это так называемое мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными. (Что это за количество такое – меньше ноля?) А ведь достаточно просто посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.
Уравнение вроде
x² + 4x = 12
выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.
Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в
x² + 4x – 12 = 0
И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в
(x + 6)(x – 2) = 0
Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть
x = –6 или x = 2
что и является ответом (не забудьте проверить).
Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x² + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).
А теперь взгляните на x² + 9x = –13. Найти множители для x² + 9x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами:
ax² + bx+ c = 0
имеет решение
Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении
x² + 4x – 12 = 0
a = 1, b = 4, c = –12.
Значит, наша формула утверждает, что
Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера более уместен был бы метод разложения на множители.
Отступление
Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение x² + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить
